Question

已知函数f（x）=sin⁴x+cos²x
（1）求函数的对称轴和对称中心；
（2）该函数的图象可由y=cosx的图象怎样变换得到？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得解析式f（x）=

1

8

cos4x+

7

8

．令4x=kπ+

π

2

，k∈Z，令4x=kπ，可解得函数的对称轴，对称中心．
（2）把y=cosx的图象横坐标缩短为原来的

1

4

（纵坐标不变），得到y=cos4x的图象，再把纵坐标变为原来的

1

8

得到y=

1

8

cos4x的图象，最后将函数图象沿y轴向上平移

7

8

个单位即可得到f（x）=

1

8

cos4x+

7

8

的图象．

解答： 解：（1）f（x）=sin⁴x+cos²x
=（

1-cos2x

2

）²+

1+cos2x

2

=

cos22x+3

4

=

1+cos4x 2

4

+

3

4

=

1

8

cos4x+

7

8

．
∵令4x=kπ+

π

2

，k∈Z可解得x=

kπ

4

+

π

8

，k∈Z，令4x=kπ，可解得x=

kπ

4

，k∈Z
∴函数的对称轴是x=

kπ

4

，k∈Z，对称中心是（

kπ

4

+

π

8

，

7

8

）k∈Z
（2）把y=cosx的图象横坐标缩短为原来的

1

4

（纵坐标不变），得到y=cos4x的图象，再把纵坐标变为原来的

1

8

得到y=

1

8

cos4x的图象，最后将函数图象沿y轴向上平移

7

8

个单位即可得到f（x）=

1

8

cos4x+

7

8

的图象．

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的化简求值，属于基本知识的考查．