Question

12．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，且sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，则cos2x的值为$\frac{7}{25}$．

Answer 1

分析 由-$\frac{π}{2}$＜x＜0和sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，可得sinx＜0且cosx＞0，联立$\left\{\begin{array}{l}{sinx+cosx=\frac{1}{5}}\\{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1}\end{array}\right.$解方程组代入cos2x=cos²x-sin²x计算可得．

解答 解：∵-$\frac{π}{2}$＜x＜0，且sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
∴sinx＜0且cosx＞0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinx+cosx=\frac{1}{5}}\\{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{sinx=-\frac{3}{5}}\\{cosx=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴cos2x=cos²x-sin²x=$\frac{7}{25}$
故答案为：$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查二倍角的余弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．