递减的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a3•a5=63，a2+a6=16，
（1）求{an}的通项公式
（2）当n为多少时，Sn取最大值，并求其最大值．
（3）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．
【答案】
分析：（1）a
2+a
6=a
3+a
5=16，由此可把a
3与a
5看作方程x
2-16x+63=0的两根，解出a
3与a
5，根据通项公式可得公差及首项；
（2）由递减等差数列性质可知，要使S
n取最大值，则有a
n≥0，a
n+1≤0，解出n，即可求得正整数n值；
（3）分①当n≤12时，②当n＞12时两种情况进行讨论，借助等差数列前n项和公式即可求得答案；
解答：解：（1）a
2+a
6=a
3+a
5=16，又a
3•a
5=63，
所以a
3与a
5是方程x
2-16x+63=0的两根，
解得
，
又该等差数列递减，所以
，
则公差d=
，a
1=11，
所以a
n=11+（n-1）（-1）=12-n；
（2）由
，即
，解得11≤n≤12，
又n∈N
*，所以当n=11或12时S
n取最大值，最大值为S
11=
=66；
（3）由（2）知，当n≤12时a
n≤0，当n＞12时a
n＞0，
①当n≤12时，
|a
1|+|a
2|+|a
3|+…+|a
n|=-（a
1+a
2+a
3+…+a
n）
=-S
n=-
=-
=
-
；
②当n＞12时，
|a
1|+|a
2|+|a
3|+…+|a
n|=-（a
1+a
2+a
3+…+a
12）+（a
13+a
14+…+a
n）
=S
n-2S
12=
-2×66=-
；
所以|a
1|+|a
2|+|a
3|+…+|a
n|=
．
点评：本题考查等差数列通项公式、前n项和公式及数列求和，考查分类讨论思想，熟练掌握等差数列的通项公式及前n项和公式是解决该类问题的基础．
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