Question

6．已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在点x=1处有极小值-1．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，直接f′（1）=0，f（1）=-1，fqca，b．
（Ⅱ）利用导数的几何意义即可求线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率，然后求解切线方程．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵f（x）=x³-x²-x，f（0）=0，
∴f′（0）=-1，
∴曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为y=-x，
即x+y=0．
则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+y=0．

点评 本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题．