Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF，
（1）求证：A₁F⊥C₁E；
（2）当A₁、E、F、C₁共面时，
求：①D₁到直线C₁E的距离；
②面A₁DE与面C₁DF所成二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，
设AE=m，则，
从而，
直接计算知，，
所以，。
（2）①，
所以，，
从而E、F分别是AB、BC的中点，

在中，，，
解得：。
②由①得，，设平面的一个法向量为，
依题意，
所以，，
同理平面的一个法向量为，
由图知，面与面所成二面角的余弦值（即）。