Question

17．设a₁∈（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1），a₂=1+$\frac{2}{{a}_{1}+1}$．
（1）证明：$\sqrt{3}$介于a₁，a₂之间；
（2）判断a₁，a₂中哪一个更接近$\sqrt{3}$；
（3）用a₁或a₂设计a₃接近$\sqrt{3}$（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）证明：（$\sqrt{3}$-a₁）（$\sqrt{3}$-a₂）＜0即可；
（2）证明：|$\sqrt{3}$-a₂|＜|$\sqrt{3}$-a₁|即可；
（3）a₃=1+$\frac{2}{1+{a}_{2}}$，a₃比a₂接近$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：（$\sqrt{3}$-a₁）（$\sqrt{3}$-a₂）=（$\sqrt{3}$-a₁）（$\sqrt{3}$-1-$\frac{2}{{a}_{1}+1}$）=$\frac{（1-\sqrt{3}）（\sqrt{3}-{a}_{1}）^{2}}{1+{a}_{1}}$＜0，
∴$\sqrt{3}$介于a₁，a₂之间；
（2）解：|$\sqrt{3}$-a₂|=|$\sqrt{3}$-1-$\frac{2}{{a}_{1}+1}$|=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+{a}_{1}}$|$\sqrt{3}$-a₁|＜|$\sqrt{3}$-a₁|
∴a₂比a₁更接近$\sqrt{3}$；
（3）解：a₃=1+$\frac{2}{1+{a}_{2}}$，∴a₃比a₂接近$\sqrt{3}$．

点评 本题考查作查法比较大小，考查学生的计算能力，属于中档题．