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关于函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)
(x∈R),有下列命题:
(1)y=f(x)的表达式可以改写成y=4cos(2x-
π
6
)

(2)y=f(x)是最小正周期为π的单调增函数.
(3)y=f(x)的图象关于点(-
π
6
,0)
对称.
(4)y=f(x)的图象关于直线x=
π
3
对称.
期中正确的命题为
 
分析:(1)利用诱导公式cos(
π
2
-α)=sinα,把函数名由正弦转化为余弦,同时角也发行转化,得到了要得到解析式;
(2)y=f(x)最小正周期为π,但在定义域上不是单调函数;
(3)把x=-
π
6
代入解析式,若等于0,正确,不等0,错误;
(4)把x=
π
3
代入解析式,若等于最值,正确,不等最值,错误.
解答:解:∵f(x)=4sin(2x+
π
3
)=4cos(
π
2
-2x-
π
3
)=4cos(
π
6
-2x)=4cos(2x-
π
6
),∴(1)正确;
∵y=f(x)是最小正周期为π的非单调函数,∴(2)错误;
∵4sin[2×(-
π
6
)+
π
3
]=4sin0=0,∴(3)正确;
∵sin(2×
π
3
+
π
3
)=sinπ=0,不为最值,∴(4)错误.
故答案为:(1)(3).
点评:本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的性质,用到诱导公式,要知应用哪一组公式可以变函数名,周期函数不会是单调函数,与x轴的交点都是函数的对称中心,过图象最高点和最低点的直线都是函数的对称轴.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

关于函数f(x)=sin(2x-
π
4
)
,有下列命题:
①其表达式也可写成f(x)=cos(2x+
π
4
)

②直线x=-
π
8
是f(x)图象的一条对称轴;
③函数f(x)的图象可以由函数g(x)=sin2x的图象向右平移
π
4
个单位得到;
④存在α∈(0,π),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立,
则其中真命题为
②④
②④

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科目:高中数学 来源: 题型:

关于函数f(x)=2sin(3x-
3
4
π)
,有下列命题:
①其最小正周期为
2
3
π
;     
②其图象由y=2sin3x向左平移
π
4
个单位而得到;
③其表达式写成f(x)=2cos(3x+
3
4
π)

④在x∈[
π
12
5
12
π]
为单调递增函数;
则其中真命题的个数是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

关于函数f(x)=lg
x2+1
|x|
(x≠0)
,有下列命题:(1)其图象关于y轴对称;(2)当x>0时,f(x)是增函数,当x<0时,f(x)是减函数;(3)f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上均为增函数;(4)f(x)的最小值是lg2.其中所有正确的结论序号是(  )
A、(1)(2)(3)
B、(1)(2)(4)
C、(1)(3)(4)
D、(2)(3)(4)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)=
4-|8x-12|(1≤x≤2)
1
2
f(
x
2
)(x>2)
,则(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

关于函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)
,x∈R有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0可知,x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-
π
6
)

③y=f(x)在[-
4
,-
π
2
]
单调递减;
④若方程f(x)-m=0在x∈[0,
π
2
]
恰有一解,则m∈[-2
3
,2
3
)

⑤函数y=|f(x)+1|的最小正周期是π,
其中正确的命题序号是
 

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