【题目】已知函数,.
(Ⅰ)求证:曲线与在处的切线重合;
(Ⅱ)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见证明(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)分别对两函数求导,求出两函数在处切线的斜率,再利用点斜式求出切线的直线方程,就可以证明曲线与在处的切线重合;
(Ⅱ)方法1:构造 对求导得到,对进行分类讨论,利用函数的单调性,综合分析,最后求出实数的取值范围。
方法2:可得(),构造新函数
设,求导,对进行分类讨论,利用函数的单调性,综合分析,最后求出实数的取值范围。
证明:(Ⅰ)
在处的切线方程为
在处的切线方程为
所以切线重合.
(Ⅱ)(方法1):令
①当时,,当且仅当时取“”,
在递减,,不恒成立.
②当时,,
(i)当时,时,,递减,
,在递减,
,不恒成立.
(ii)当时,,在递增,
,在递增,
,恒成立.
综上,.
(Ⅱ)(方法2):
,
(),
设,
,,在递减, ,与已知矛盾
,
①,, 在递增,满足题意
②当时, ,,在递减,,
不满足题意
综上,
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【题目】已知圆C过定点,且与直线相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:()相交于A,B两点.
(1)求曲线E的方程;
(2)当的面积等于时,求k的值.
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【题目】已知动圆C过定点F(2,0),且与直线x=-2相切,圆心C的轨迹为E,
(1)求圆心C的轨迹E的方程;
(2)若直线l交E与P,Q两点,且线段PQ的中心点坐标(1,1),求|PQ|.
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【题目】为了了解某市高三学生的身体情况,某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测,其中第一次体测的成绩(满分:100分)的频率分布直方图如下图所示,第二次体测的成绩.
(Ⅰ)试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低;
(Ⅱ)若该市有高三学生20000人,记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀,假设这20000人都参与了第二次体测,试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数;
(Ⅲ)以频率估计概率,若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人,记这4人成绩在的人数为,求的分布列及数学期望.
附:,,
.
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【题目】在一个圆锥内作一个内接等边圆柱(一个底面在圆锥的底面上,且轴截面是正方形的圆柱),再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱,这样无限的做下去.
(1)证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列;
(2)已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的,求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比.
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【题目】如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确是( )
A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面
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【题目】已知直线,且与坐标轴形成的三角形面积为.求:
(1)求证:不论为何实数,直线过定点P;
(2)分别求和时,所对应的直线条数;
(3)针对的不同取值,讨论集合直线经过P,且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.
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