Question

4．在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$，a=6，△ABC的面积为24．
（1）求角A的正弦值；
（2）求边b，c．

Answer 1

分析 （1）已知等式整理后，利用余弦定理化简求出cosA的值，进而求出sinA的值；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再将a与bc的值代入已知等式求出b²+c²的值，联立即可求出b与c的值．

解答 解：（1）由在△ABC中，a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$①，整理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，
则sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$；
（2）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=24，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴bc=80，
将a=6，bc=80代入①得：b²+c²=164，
与bc=80联立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．