Question

6．已知f（x）为偶函数，且x≥0时，f（x）=x-[x]（[x]表示不超过x的最大整数）．设g（x）=f（x）-kx-k（k∈R），若k=1，则函数g（x）有2个零点；若函数g（x）三个不同的零点，则k的取值范围是$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．

Answer 1

分析 根据[x]的定义，通过k=1，化简函数g（x）的解析式，画出图象判断零点个数；函数g（x）三个不同的零点，通过两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：k=1，x≥0时，函数g（x）=f（x）-x-1，令g（x）=0，可得f（x）=x-[x]，y=x+1，画出两个函数的图象如图：

∵函数g（x）=f（x）-x-1有2个零点．
因为函数是偶函数，所以先考虑x≥0的情况，

当0≤x＜1时，[x]=0，此时f（x）=x-[x]=x．
当1≤x＜2时，[x]=1，此时f（x）=x-[x]=x-1．
当2≤x＜3时，[x]=2，此时f（x）=x-[x]=x-2．
当3≤x＜4时，[x]=3，此时f（x）=x-[x]=x-3．
设g（x）=kx+k=k（x+1），则g（x）过定点P（-1，0），
坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图：
当g（x）经过点A（-5，1），B（-4，1）时有3个不同的交点，当经过点C（1，1），D（2，1）时，有2个不同的交点，
则AP的斜率k=-$\frac{1}{4}$，BP的斜率k=-$\frac{1}{3}$，PC的斜率k=$\frac{1}{2}$，PD的斜率k=$\frac{1}{3}$，
故满足条件的斜率k的取值范围是：$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$，
故答案为：2；$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．

点评 本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．