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已知定点A,B且AB=2a,如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2:1,求点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
分析:先依据条件建立恰当的直角坐标系,设P为(x,y),依据题中条件:“距离之比”列关于x,y的方程式,化谙即可得点P的轨迹方程.
解答:解:选取AB所在直线为横轴,
从A到B为正方向,以AB中点O为原点,
过O作AB的垂线为纵轴,则A为(-a,0),
B为(a,0),设P为(x,y)
PA
PB
=
2
1
,∴
(x+a)2+y2
(x-a)2+y2
=2

∴(x+a)2+y2=4[(x-a)2+y2],
∴3x2-10ax+3y2+3a2=0.
因为x2,y2两项的系数相等,且缺xy项,
所以轨迹的图形是圆.
点评:求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.
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