Question

9．已知点P（x，y）在圆x²+（y-1）²=1上运动．
（1）求$\frac{y-1}{x-2}$的最大值与最小值．
（2）求x²+y²的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，利用数形结合思想能求出$\frac{y-1}{x-2}$的最大值与最小值．
（2）由圆的参数方程得$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，由此能求出x²+y²的最大值和最小值．

解答 解：（1）根据题意画出图形，当P与C（或D）重合时，直线BC（BD）与圆A相切，
设直线BC解析式为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0，
∴圆心（0，1）到直线BC的距离d=r，即$\frac{|-2k|}{{k}^{2}+1}$=1，
解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{y-1}{x-2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y-1}{x-2}$的最大值与最小值分别为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵点P（x，y）在圆x²+（y-1）²=1上运动，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∴x²+y²=cos²θ+（1+sinθ）²
=2sinθ+2，
∴x²+y²的最大值为4，最小值为0．

点评 本题考查代数式的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想和圆的参数方程的合理运用．