【题目】如图,设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点,为左焦点,椭圆的离心率为,抛物线与椭圆交于轴上方一点,连接并延长交于点为上一动点,且在之间移动.
(1)当取最小值时,求和的方程;
(2)若的边长恰好是三个连接的自然数,求面积的最大值.
【答案】(1),.(2).
【解析】分析:(1)用表示出,根据基本不等式得出的值,从而得出的方程;
(2)用表示出椭圆的方程,联立方程组得出P点坐标,计算出的三边关于的式子,从而确定的值,求出的距离和M到直线PQ的距离,利用二次函数性质得出三角形面积的最大值.
详解:(1)因为,,
则,,
所以取最小值时,
此时抛物线,此时,
所以椭圆的方程为.
(2)因为,,则,,
设椭圆的标准方程为,,,
由,得,
所以或(舍去),
代入抛物线方程得,
即,
于是,,
又的边长恰好是三个连续的自然数,
所以,此时抛物线方程为,
则直线的方程为,
联立,得或(舍去)
于是.
所以,
设到直线的距离为,
则
当时,,
所以的面积最大值为.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线,过点的直线的参数方程为.直线与曲线分别交于、.
(1)求的取值范围;
(2)若、、成等比数列,求实数的值.
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【题目】如图,某机械厂欲从米,米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形加工成某仪器的零件,裁剪要求如下:点分别在边上,且,.设,四边形的面积为(单位:平方米).
(1)求关于的函数关系式,求出定义域;
(2)当的长为何值时,裁剪出的四边形的面积最小,并求出最小值.
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【题目】为了解重庆市高中学生在面对新高考模式“3+1+2”的科目选择中,物理与历史的二选一是否与性别有关,某高中随机对该校50名高一学生进行了问卷调查得到相关数据如下列联表:
选物理 | 选历史 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 |
己知在这50人中随机抽取1人,抽到选物理的人的概率为。
(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为物理与历史的二选一与性别有关?
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式,其中为样本容量)
(2)己知在选物理的10位女生中有3人选择了化学、地理,有5人选择了化学、生物,有2人选择了生物、地理,现从这10人中抽取3人进行更详细的学科意愿调查,记抽到的3人中选择化学的有X人,求随机变量X的分布列及数学期望。
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【题目】已知函数,其中.
Ⅰ当时,恒成立,求a的取值范围;
Ⅱ设是定义在上的函数,在内任取个数,,,,,设,令,,如果存在一个常数,使得恒成立,则称函数在区间上的具有性质P.试判断函数在区间上是否具有性质P?若具有性质P,请求出M的最小值;若不具有性质P,请说明理由.注:
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【题目】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,其中m是常数.
(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(Ⅱ)若对任意x∈[﹣3,1],有f(tx)+f(2t﹣1)≤0恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积(平方米)与时间(月)之间的函数关系式是且,它的图象如图所示,给出以下命题:①池塘中原有浮草的面积是平方米;②第个月浮草的面积超过平方米;③浮草每月增加的面积都相等;④若浮草面积达到平方米,平方米,平方米所经过的时间分别为,则.其中正确命题的序号有_____.(注:请写出所有正确结论的序号)
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【题目】2018年9月24日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学届的震动。在1859年的时候,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想。在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论。若根据欧拉得出的结论,估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数,,计算结果取整数)
A. 768 B. 144 C. 767 D. 145
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