Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，AC=2，BC=

5

，且CB₁⊥A₁B．
（1）求侧棱AA₁的长；
（2）求三棱锥B₁-A₁BC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧棱AA₁的长．
（2）由VB1-A1BC=VC-A1B1B，利用等积法能求出三棱锥B₁-A₁BC的体积

解答： 解：（1）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA₁=t，t＞0，由已知得C（2，0，0），A₁（0，0，t），
B（0，1，0），B₁（0，1，t），

A1B

=(0，1，-t)，

CB1

=（-2，1，t），
∵CB₁⊥A₁B，
∴

A1B

•

CB1

=1-t²=0，
由t＞0，解得t=1，
∴侧棱AA₁的长为1．
（2）∵∠CAB=90°，∴CA⊥AB，
∵侧棱与底面垂直，∴AC⊥AA₁，
又AB∩AA₁=A，∴CA⊥平面A₁B₁B，
∵S△A1B1B=

1

2

×1×1=

1

2

，CA=2，
∴VB1-A1BC=VC-A1B1B=

1

3

×S△A1B1B×CA=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

．

点评：本题考查三棱锥侧棱长的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．