Question

5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a，$\sqrt{3}$b）与$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinB）平行，
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，列出方程，再利用正弦定理求出TanA的值，即得角A的大小；
（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc的最大值，即得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，向量$\overrightarrow{m}$=（a，$\sqrt{3}$b），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，
由正弦定理得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
即A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=$\sqrt{7}$，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，
即7≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时取等号；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
∴△ABC面积的最大值是$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了正弦、余弦定理以及基本不等式和三角形面积公式的应用问题，是基础题目．