Question

如图，椭圆C₂

x2

a2

+ 

y2

b2

=1的焦点为F₁，F₂，|A₁B₁|=

7

，S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于点P，与椭圆相交于A，B两点的直线|

OP

|=1，是否存在上述直线l使

OA

•

OB

=0成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知a²+b²=7，a=2c，由此能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假设使

OA

•

OB

=0成立的直线l存在．
（i）当l不垂直于x轴时，根据题设条件能够推出直线l不存在．
（ii）当l垂直于x轴时，满足|

OP

|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，由A、B两点的坐标为(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)或(-1，

3

2

)，(-1，-

3

2

)．当x=1时，

OA

•

OB

=-

5

4

≠0．当x=-1时，

OA

•

OB

=-

5

4

≠0．所以此时直线l也不存在．由此可知，使

OA

•

OB

=0成立的直线l不成立．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知a²+b²=7，
∵S_□B1A1B2A2=2S_□B1F1B2F2，
∴a=2c．
解得a²=4，b²=3，c²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假设使

OA

•

OB

=0成立的直线l存在．
（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点，且|

OP

|=1得

|m|

1+ k2

=1，即m²=k²+1，由

OA

•

OB

=0得x₁x₂+y₁y₂=0，将y=kx+m代入椭圆得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0，x1+x2=

-8km

3+4k2

，①，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，②
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
把①②代入上式并化简得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，③
将m²=1+k²代入③并化简得-5（k²+1）=0矛盾．即此时直线l不存在．
（ii）当l垂直于x轴时，满足|

OP

|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，
由A、B两点的坐标为(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)或(-1，

3

2

)，(-1，-

3

2

)．
当x=1时，

OA

•

OB

=(1，

3

2

)• (1，-

3

2

)=-

5

4

≠0．
当x=-1时，

OA

•

OB

=(-1，

3

2

)• (-1，-

3

2

)=-

5

4

≠0．
∴此时直线l也不存在．
综上所述，使

OA

•

OB

=0成立的直线l不成立．

点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，灵活地运用公式．