Question

设f（x）=6cos²x-2

3

sinx-cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）若锐角α满足f（a）=3-2

3

，求tanα及

1+2sinacosa

sin2a-cos2a

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间．可先把函数f（x）=6cos²x-2

3

sinx-cosx化简为三角函数的一般形式，然后根据周期公式即可得到最小正周期，再根据-π+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ解得单调区间即可．
（Ⅱ）若锐角α满足f（a）=3-2

3

，求tanα及

1+2sinacosa

sin2a-cos2a

的值．因为由f（α）=3-2

3

代入函数值即可得到α的值，然后根据三角函数之间的关系化简求解tanα及

1+2sinacosa

sin2a-cos2a

，把α的值代入即可．

解答：解：因为：f（x）=6cos²x-2

3

sinx-cosx=3（1+cos2x）-

3

sin2x=2

3

cos（2x+

π

6

）+3
所以（Ⅰ）f（x）的最小正周期为T=π；
由-π+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ得f（x）的单调递增区间为[kπ-

7π

12

，kπ -

π

12

]（k∈Z）
故答案为[kπ-

7π

12

，kπ -

π

12

]且（k∈Z）
（Ⅱ）由f（α）=3-2

3

，即：2

3

cos（2α+

π

6

）+3=3-2

3

，所以cos（2α+

π

6

）=-1．
又由0＜α＜

π

2

得

π

6

＜2α+

π

6

＜

7π

6

，∴2α+

π

6

=π所以α=

5π

12

所以tanα=tan

5π

12

=tan(

π

4

+

π

6

)=

3 3 +1

1- 3 3

=2+

3

所以

1+2sinacosa

sin2a-cos2a

=

(sinα+cosα)2

(sinα+cosα)(sinα-cosα)

=

sinα+cosα

sinα-cosα

=

tanα+1

tanα-1

=

3+ 3

1+ 3

=

3

．

点评：此题主要考查三角函数一般形式的化简及周期、单调性的求解问题，题中三角函数化简求值是重点，考查学生的灵活性有一定的计算量．属于中档题目．