Question

如图,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1.另一个侧面ABC是正三角形.

(1)求证:AD⊥BC;

(2)求二面角B-AC-D的大小;

(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)证法一:作AH⊥面BCD于H,连结DH,AB⊥BDHB⊥BD,

∵AD=,BD=1,

∴AB==BC=AC.

∴BD⊥DC.

又BD=CD,则BHCD是正方形,

则DH⊥BC,

∴AD⊥BC.

证法二:取BC的中点O,连结AO、DO,

则有AO⊥BC,DO⊥BC.

∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.

(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,

则∠BMN就是二面角BACD的平面角.

∵AB=AC=BC=,

∴M是AC的中点,且MN∥CD.

∴BM=,MN=CD=,BN=AD=.

由余弦定理得cos∠BMN=.

∴∠BMN=arccos.

(3)解:设E为所求的点,作EF⊥CH于F,连结FD,则EF∥AH.

∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°.

设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=1+x².

∴tan∠EDF=,解得x=,则CE==1.

故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.