Question

7．已知sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$．
（1）求sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{π}{2}$-α）的值；
（2）若$\frac{π}{2}$＜α＜π，求$\frac{1}{sin（π-α）}$+$\frac{1}{cos（π-α）}$的值．

Answer 1

分析 （1）sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，两边平方可得sinαcosα，sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{π}{2}$-α）=cosαsinα，即可得出；
（2）由$\frac{π}{2}$＜α＜π，sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$．两边平方可得，解得sinαcosα．sinα-cosα=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}-4sinαcosα}$．再利用诱导公式及其通分化简即可得出．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，∴sin²α+cos²α+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，解得sinαcosα=-$\frac{12}{25}$．
sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{π}{2}$-α）=cosαsinα=-$\frac{12}{25}$；
（2）∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$．
sinα-cosα=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}-4sinαcosα}$=$\frac{7}{5}$
∴$\frac{1}{sin（π-α）}$+$\frac{1}{cos（π-α）}$=$\frac{1}{sinα}-\frac{1}{cosα}$=$\frac{cosα-sinα}{sinαcosα}$=$\frac{-\frac{7}{5}}{-\frac{12}{25}}$=$\frac{35}{12}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．