Question

已知函数f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）取绝对值，化简函数解析式，联系图象写单调区间．
（1）分类讨论，去绝对值，转化解为不等式组．
（3）分类讨论，分当0＜a1 时，当1＜a≤2 时两种情况，利用函数的单调性，求函数在闭区间上的最值．

解答：解：（1）函数f（x）=x|x-2|=

x2-2x=(x-1)2-1             x≥2 -x2+2x=-(x-1)2+1         x＜2

∴f（x）的单调增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（2）f（x）＜3，即 x|x-2|＜3，∴

x≤2  x2-2x -3＜0

或

x＜2 x2-2x+3＞0

，
∴2≤x＜3 或 x＜2∴不等式f（x）＜3的解集为{x|2≤x＜3 或 x＜2 }．
（3）  当0＜a1 时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的
上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
．当1＜a≤2 时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时，
此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
综上，当0＜a1 时，此时f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
当1＜a≤2 时，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1．

点评：本题考查分类讨论的数学思想，和利用单调性求函数最值的方法．