Question

设函数f(x)=

x2+1

-ax(a＞0)，
（I）求证：当且仅当a≥1时，f（x）在[0，+∞）内为单调函数；
（II）求a的取值范围，使函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（I）先求函数f(x)=

x2+1

-ax(a＞0)的导数f′（x），再证明a≥1时，f′（x）＜0，f（x）单调；而a＜1时，f′（x）先负后正，f（x）不单调
（II）由（1）知a≥1时f（x）单调递减，不合题意，当0＜a＜1时，使函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需[1，+∞）是函数单调增区间的子区间，可求a的范围

解答：解：（I）∵f′(x)=

x

x2+1

-a，
①当a≥1时，∵

x

x2+1

≤

|x|

x2+1

＜1≤a，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减
②当0＜a＜1时，由f′（x）＜0，得0≤x＜a

x2+1

⇒0≤x＜

a

1-a2

；
由f′（x）＞0得x＞a

x2+1

⇒x＞

a

1-a2

；
∴当0＜a＜1时，f（x）在[0，

a

1-a2

)为减函数，而在(

a

1-a2

，+∞)，为增函数，
∴当0＜a＜1时，f（x）在[0，+∞）上不是单调函数；
综上，当且仅当a≥1时，f（x）在[0，+∞）上为单调函数．
（II）由（I）①知当a≥1时f（x）单调递减，不合；  由②知当f（x）在[1，+∞）上单调递增等价于：

a

1-a2

≤1，∴0＜a≤

2

2

，即a的取值范围是(0，

2

2

]．

点评：本题考查了导数在函数的单调性上的应用，解题时要学会对参数进行讨论，做到不重不漏，还要注意一题中两问间的关系