Question

9．求函数f（x）=（x+1）³e^x+1的极值．

Answer 1

分析 令x+1=u，从而可得g（u）=u³e^u，从而求导可证明g（u）=u³e^u在（-∞，-3）上是减函数，在（-3，+∞）上是增函数；从而求极值即可．

解答 解：令x+1=u，
则函数f（x）=（x+1）³e^x+1可化为g（u）=u³e^u，
g′（u）=3u²e^u+u³e^u=u²e^u（3+u），
∴当u＜-3时，g′（u）＜0，
当u≥-3时，g′（u）≥0，
故g（u）=u³e^u在（-∞，-3）上是减函数，
在（-3，+∞）上是增函数；
故函数g（u）在u=-3时有极小值g（-3）=-$\frac{27}{{e}^{3}}$；
故函数f（x）=（x+1）³e^x+1的极值为g（-3）=-$\frac{27}{{e}^{3}}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的极值的求法及应用．