Question

2．下列叙述中，正确的个数是（　　）
①命题p：“?x∈R，x²-2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈R，x²-2＜0”；
②O是△ABC所在平面上一点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$，则O是△ABC的垂心；
③“M＞N”是“（$\frac{2}{3}$）^M＞（$\frac{2}{3}$）^N”的充分不必要条件；
④命题“若x²-3x-4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²-3x-4≠0”．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①对存在命题的否定，应把存在一个改为对任意的，再取结论的反面，故正确；
②由数量积的分配律可知$\overrightarrow{OB}$（$\overrightarrow{OA}$$-\overrightarrow{OC}$）=0，进而得出OB⊥AC，同理可证OA⊥BC，OC⊥AB，得出结论成立；
③由指数函数可知③“M＞N”得出“（$\frac{2}{3}$）^M＜（$\frac{2}{3}$）^N”，故错误；
④命题的逆否命题是先逆再否，故正确．

解答 解：①命题p：“?x∈R，x²-2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈R，x²-2＜0”是对应存在命题的否定，应把存在一个改为对任意的，再取结论的反面，故正确；
②$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=0，
∴$\overrightarrow{OB}$（$\overrightarrow{OA}$$-\overrightarrow{OC}$）=0，
∴$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{CA}$=0，
∴OB⊥AC，
同理可证OA⊥BC，OC⊥AB，
故O为垂心，正确；
③“M＞N”不能推出“（$\frac{2}{3}$）^M＞（$\frac{2}{3}$）^N”，由③“（$\frac{2}{3}$）^M＞（$\frac{2}{3}$）^N”不能推出“M＞N”，故应是既不充分也不必要条件，故错误；
④命题的逆否命题是先逆再否，故命题“若x²-3x-4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²-3x-4≠0”正确．
故选C．

点评 考查了四种命题，存在命题的否定和数量积的运算，属于基础题型，应熟练掌握．