Question

给定一个正方体与三个球，其中一个球与该正方体的各面都相切，第二个球与正方体的各棱都相切，第三个球过正方体的各个顶点，则此三球的半径之比是

1：

2

：

3

．

Answer 1

分析：第一个球是正方体的内切球，不难理解球的直径等于正方体的棱长；再看第二个球，它与正方体的各条棱都相切，观察正方体对角面矩形的两条相对的棱，得到球大圆的两条平行切线，从而得到球的直径为这两条平行切线之间的距离，即正方体面上的对角线长；最后看第三个球，是正方体的外接球，不难得到球大圆是正方体对角面的外接圆，可得球的直径等于正方体的对角线长．由此不难得出三个球的半径之比．

解答：解：设正方体的棱长为a，可得
∵第一个球与该正方体的各面都相切
∴第一个球的直径等于正方体的棱长a，故球的半径为r₁=

1

2

a
又∵第二个球与正方体的各棱都相切
∴第二个球的直径等于正方体的相对两条棱的距离
故球的半径为正方体面上的对角线长：即2r₂=

2

a⇒r₂=

2

2

a
∵第三个球过正方体的各个顶点，
∴第三个球的直径等于正方体的对角线长
即2r₃=

a2+a2+a2

=

3

a⇒r₃=

3

2

a
可得r₁：r₂：r₃=

1

2

a：

2

2

a：

3

2

a=1：

2

：

3

故答案为：1：

2

：

3

点评：本题以正方体的内切球、棱切球、外接球为例，考查了球的内接外切等知识点，属于中档题．