Question

已知a＞b＞0，F是方程

x2

b2

+

y2

a2

=1的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，

PF

与x轴平行，

PF

=

a

4

，设
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，

m

•

n

=0
（I ）求椭圆E的离心率
（II）如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，直线y=kx-3经过A、B两点，求k²的值．

Answer 1

（I）∵P是椭圆E上的点，

PF

与x轴平行，
∴|

PF

|=

b2

a

，
∵|

PF

|=

a

4

，
∴b2=

1

4

a2
∴

c2

a2

=

3

4

∴e=

3

2

（II）椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2
∴ab=2，
解方程组

b2= 1 4 a2 ab=2

得

a=2 b=1

，
∴椭圆的方程是x2+ 

y2

4

 =1
设A（x₁，kx₁-3），B（x₂，kx₂-3）
∵

m

•

n

=0
∴（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0，
∵

y=kx+3 4x2+y2

-4=0，
得（4+k²）x²-6kx+5=0
即（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0
由

y=kx-3 4x2+y2

-4=0
得（4+k²）x²-6kx+5=0，
∴x1+x2=

6k

4+k2

，x1x2=

5

4+k2

∴（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0，
∴56-4k²=0
k²=14