Question

已知集合A={x|（x-2）（x-2a-5）＜0}，函数y=lg

x-(a2+2)

2a-x

的定义域为集合B．
（1）若a=4，求集合A∩B；
（2）已知a＞-

3

2

，且”x∈A”是”x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a=4，确定集合A，利用对数函数的定义域，确定集合B，从而可求集合A∩B
（2）根据已知a＞-

3

2

，确定集合A，B，利用∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，可知B⊆A，从而建立不等式，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=4时，集合A={x|（x-2）（x-13）＜0}={x|2＜x＜13}，
函数y=lg

x-(a2+2)

2a-x

=lg

x-18

8-x

的定义域为{x|8＜x＜18}，∴B={x|8＜x＜18}，
∴集合A∩B={x|8＜x＜13}；
（2）∵a＞-

3

2

，∴2a+5＞2，∴A=（2，2a+5）
∵a²+2＞2a，∴B=（2a，a²+2）
∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
∴B⊆A
∴

a＞- 3 2 2a≥2 a2+2≤2a+5

∴1≤a≤3
∴实数a的取值范围是[1，3]．

点评：本题主要考查了集合的运算，集合之间的关系，考查四种条件的运用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义．