Question

关于x的方程（2^x-1）²-（3k+2）|2^x-1|+1+2k=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设t=|2^x-1|，则原方程转化为t²-（3k+2）t+1+2k=0，然后利用一元二次方程与t的关系确定实数k的取值范围．

解答：解：设t=|2^x-1|，则原方程转化为t²-（3k+2）t+1+2k=0．
由图象可知，当t≥1时，t=|2^x-1|，有一个解．
当0＜t＜1时，t=|2^x-1|，有2个解，
当t=0时，t=|2^x-1|，有一个解．
所以要使关于x的方程（2^x-1）²-（3k+2）|2^x-1|+1+2k=0有三个不相等的实数根，
则方程t²-（3k+2）t+1+2k=0的根满足
①t₁=0，0＜t₂＜1．或者②t₁＞1，0＜t₂＜1．
若t₁=0，则1+2k=0，解得k=-

1

2

，此时方程为t2-

1

2

t=0，对应方程的根为t=0或t=

1

2

，满足条件．
若t₁＞1，0＜t₂＜1．，设f（t）=t²-（3k+2）t+1+2k，
则有

f(0)＞0 f(1)＜0

，即

f(0)=1+2k＞0 f(1)=-k＜0

，所以解得k＞0．
综上：实数k的取值范围是{k|k=-

1

2

或k＞0}．
故答案为：{k|k=-

1

2

或k＞0}．

点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，同时要熟练掌握一元二次函数根的分布，本题综合性较强．