Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a＞0，b∈R），x∈R
（1）若-1为f（x）=0的一个根，且函数f（x）的值域为[-4，+∞），求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，h（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用-1为f（x）=0的一个根，且函数f（x）的值域为[-4，+∞），建立关系即可求a，b的值．
（2）利用h（x）=f（x）-kx是单调函数，得到区间[-2，2]和对称轴之间的关系，建立不等式关系即可．

解答：解：（1）∵-1为f（x）=0的一个根，∴f（-1）=1-a+b=0，①
∵函数f（x）的值域为[-4，+∞），
∴

4b-a2

4

=-4，②
由①②解得a=6，b=5．
∴f（x）=x²+6x+5．
（2）函数h（x）=f（x）-kx=x²+（6-k）x+5，对称轴为x=

k-6

2

，
要使h（x）=f（x）-kx是在[-2，2]上是单调函数，
则

k-6

2

≤-1或

k-6

2

≥2，
解得k≤2或k≥10．
故实数k的取值范围是：k≤2或k≥10．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数单调性的应用，比较综合．