Question

已知以点C （t，

2

t

）（t∈R），t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
（1）求证：△OAB的面积为定值．
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
（3）若t＞0，当圆C的半径最小且时，圆C上至少有三个不同的点到直线l：y-

2

=k(x-3-

2

)的距离为

1

2

，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为圆C过原点，利用两点间的距离公式表示出出O到C的距离即为圆的半径，然后根据点C的坐标，写出圆C的标准方程，令x=0，解出相应y的值，令y=0解出相应x的值，进而表示出点A和点B的坐标，利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积，约分后得到面积为定值，得证；
（2）根据圆上的点到圆心的距离相等得到|CM|=|CN|，又因为|OM|=|ON|，得到OC垂直平分线段MN，由已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线OC的斜率，然后利用C的坐标表示出斜率，两者相等得到关于t的方程，求出方程的解得到t的值，然后把求出的t的值代入点C的坐标中确定出圆心的坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式判断圆心到已知直线的距离小于半径即已知直线与圆相交，把不符合题意的t舍去，得到满足题意的t的值，进而得到圆C的方程；
（3）根据圆C的方程找出圆的半径，然后利用基本不等式求出半径的最小值以及半径最小时t的值，把求出的t的值代入即可确定出圆心C的坐标和圆的半径，写出此时圆C的方程，根据题中要求的圆C上至少有三个不同的点到直线l：y

2

=k(x-3-

2

)的距离为

1

2

，即圆心到直线的距离要小于等于2-

1

2

，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．

解答：解：（1）∵圆C过原点O，∴OC²=t²+

4

t2

，
则圆C的方程为（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，
令x=0，得y₁=0，y₂=

4

t

；令y=0得x₁=0，x₂=2t，
即A（2t，0），B（0，

4

t

），
∴S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

|

4

t

|×|2t|=4．
即△OAB的面积为定值；
（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分线段MN．
∵K_MN=-2，∴K_OC=

1

2

，
∴

2

t

=

1

2

t，解得t=2或t=-2．
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1）半径OC=

5

，此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=

1

5

＜

5

，
即圆C与直线y=-2x+4相交于两点．
当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1）半径OC=

5

此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=

9

5

＞

5

，即圆C与直线y=-2x+4不相交，
∴t=-2不合题意，舍去．
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5；
（3）半径OC=

t2+ 4 t2

≥

4

=2．当且仅当t=±

2

时取等号，
∵t＞0，∴t=

2

．
此时圆心坐标为C（

2

，  

2

），半径为2．
若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y-

2

=k（x-3-

2

）的距离为

1

2

．
则圆心C到直线的距离d≤

3

2

．
即：

|3k|

1+k2

≤

3

2

所以-

3

3

≤k≤

3

3

．

点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，灵活运用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，掌握直线与圆的位置关系，是一道多知识的综合题．