Question

已知函数f(x)=

8

x-1

+4，g(x)=|x+1|-

1

3

x-

7

3

，h(x)=

f(x)， x≤-1 g(x)， x＞-1

（1）画出函数y=h（x）的图象；
（2）用单调性的定义证明：函数y=f（x）在（-∞，1）上为减函数．

Answer 1

分析：（1）利用分段函数进行作图．
（2）利用函数单调性的定义进行证明．

解答：解：（1）函数y=h（x）的图象
当x＞-1时，g(x)=

2

3

x-

4

3

，取点（-1，-2）和（2，0），得射线；
对f(x)=

8

x-1

+4，取点（-3，-2）和（-1，0），
函数y=h（x）的图象如图所示．

（2）任取x₁，x₂∈（-∞，1），设x₁＜x₂，
∵f(x)=

8

x-1

+4
则f(x1)-f(x2)=(

8

x1-1

+4)-(

8

x2-1

+4)=

8(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
而x₁-1＜0，x₂-1＜0，又x₂-x₁＞0，
∴

8(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即：f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴函数y=f（x）在（-∞，1）上为减函数．

点评：本题主要考查函数图象的作图以及利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查学生的作图能力．