Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a^x-1，其中a＞0且a≠1，
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解关于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，结果用集合或区间表示．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=a^-x-1，f（x）是定义在R上的奇函数，-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．由此能求出f（x）的解析式．
（3）不等式等价于或．当a＞1时，有或，此时不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）．同理可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为R．由此能求出关于x的不等式-1＜f（x-1）＜4的解集．
解答：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=a^-x-1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．
∴．
（3）不等式等价于或．
当a＞1时，有或，注意此时log_a2＞0，log_a5＞0．
可得此时不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）．
同理可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为R．
综上所述，当a＞1时，不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）．
当0＜a＜1时，不等式的解集为（-∞，+∞）．
点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性的灵活运用．