Question

设a_n是（3-

x

）ⁿ的展开式中x项的系数（n=2、3、4、…），则

lim

n→∞

（

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

）=

18

．

Answer 1

分析：求出a_n，然后计算

3n

an

，通过裂项，求出表达式和，然后求解极限即可．

解答：解：（3-

x

）ⁿ的展开式第三项含x一次项 T₂₊₁=C_n²3^n-2x，
系数为C_n²3^n-2

3n

an

=

3n

C 2 n 3n-2

=

18

n(n-1)

，
∵

18

n(n-1)

=18(

1

n-1

-

1

n

)，
则

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

=18(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=18(1-

1

n

)，
则

lim

n→∞

（

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

）=

lim

n→∞

18(1-

1

n

)=18
故答案为：18．

点评：本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，数列求和已经数列的极限，考查计算能力．