Question

已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=2．
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性．
（3）求函数f（x）+g（x）在（0，

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出函数的解析式，利用f（1）=1，g（1）=2，即可求得结论；
（2）先确定函数的定义域，再验证h（-x）与h（x）的关系，即可得到结论；
（3）求导数，确定函数在（0，

2

]上的单调性，从而可得函数在（0，

2

]上的最小值．

解答：解：（1）设f（x）=k₁x，g（x）=

k2

x

，其中k₁k₂≠0
则∵f（1）=1，g（1）=2，
∴k₁×1=1，

k2

1

=2
∴k₁=1，k₂=2
∴f（x）=x，g（x）=

2

x

；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）=x+

2

x

∴函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）…（9分）
因为对定义域内的每一个x，都有h（-x）=-（x+

2

x

）=-h（x）
∴函数h（x）是奇函数，即函数f（x）+g（x）是奇函数；
（3）由（2）知h（x）=x+

2

x

，则h′(x)=1-

2

x2

当x∈（0，

2

]时，h′（x）≤0，
∴函数h（x）在（0，

2

]上单调递减
∴x=

2

时，h（x）取得最小值为2

2

即函数f（x）+g（x）在（0，

2

]上的最小值是2

2

．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性与最值，属于中档题．