Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

 (a∈R)
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若函数为f（x）奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，若对任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）为R上的增函数，利用函数单调性的定义进行证明；
（2）函数f（x）为奇函数，则f（0）=a-1=0，可得a=1，再进行验证即可；
（3）因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）对任意的t∈R恒成立．

解答：解：（1）函数f（x）为R上的增函数．证明如下：…（1分）
证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

．…（3分）
因为y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，所以2x1-2x2＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）为R上的增函数．…（4分）
（2）∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=a-1=0，∴a=1．…（6分）
当a=1时，f(x)=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

．
∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），…（8分）
此时，f（x）为奇函数，满足题意，所以，a=1．…（8分）
（3）因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）对任意的t∈R恒成立．…（9分）．
又因为在（-∞，+∞）上为增函数，所以等价于不等式t²+2＞tk-t²对任意的t∈R恒成立，即不等式2t²-kt+2＞0对任意的t∈R恒成立．…（10分）
所以必须有△=k²-16＜0，即-4＜k＜4，所以实数k的取值范围{k|-4＜k＜4}．…（12分）

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．