Question

18．设函数f（x）=1+lnx-$\frac{（x-1）k}{x}$．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求整数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$，从而讨论以确定函数的单调性；
（2）若k≥1，则f_min（x）=f（k）=1+lnk-（k-1）=lnk-k+2＞0，求导可判断f（k）在（1，+∞）上是减函数，再由函数零点的判定定理求最大值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=1+lnx-$\frac{（x-1）k}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$，
①当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当k＞0时，x∈（0，k）时，f′（x）＜0；
x∈（k，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，k）上是减函数，在（k，+∞）上是增函数；
（2）若k≥1，则f_min（x）=f（k）=1+lnk-（k-1）=lnk-k+2＞0，
f′（k）=$\frac{1}{k}$-1≤0，
故f（k）在（1，+∞）上是减函数，
而f（2）=ln2-2+2=ln2＞0，
f（3）=ln3-3+2=ln3-1＞0，
f（4）=ln4-4+2=ln4-2＜0；
故整数k的最大值为3．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．