Question

已知函数．
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）记函数图象为曲线，设点，是曲线上不同的两点，点为线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．试问：曲线在点处的切线是否平行于直线？并说明理由．

Answer 1

（1），（2）（3）不平行

试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，分四步：第一步，求定义域，，第二步，求导，，关键在因式分解，目的解不等式. 第三步解不等式由，得，第四步，写结论，的单调增区间为．（2）求函数最值，其实质还是研究其单调性. 当时，由，得，，①当>1，即时，在上是减函数，所以在上的最小值为．②当，即时，在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值为．③当，即时，在上是增函数，所以的最小值为．（3）是否平行，还是从假设平行出发，探究等量关系是否成立. 设，则点N的横坐标为，直线AB的斜率=，曲线C在点N处的切线斜率,由得，不妨设，，则，下面研究函数是否有大于1的解.易由函数单调性得方程无解.
试题解析：（1），        2分
因为，，所以，解，得，
所以的单调增区间为．                                     4分
（2）当时，由，得，，
①当>1，即时，在上是减函数，
所以在上的最小值为．                            6分
②当，即时，
在上是减函数，在上是增函数，
所以的最小值为．                        8分
③当，即时，在上是增函数，
所以的最小值为．
综上，函数在区间上的最小值
10分   
（3）设，则点N的横坐标为，
直线AB的斜率
=，
曲线C在点N处的切线斜率
，
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则，
即，                                         13分
所以，不妨设，，则，
令，，
所以在上是增函数，又，所以，即不成立，
所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．                      16分