Question

如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是（　　）

A．减函数且最小值是-5

B．增函数且最大值是-5

C．减函数且最大值是-5

D．增函数且最小值是-5

Answer 1

分析：根据题意得任意的x∈[3，7]，有f（x）≤f（7）恒成立，从而对x∈[-7，-3]都有f（-x）≤f（7）恒成立，由函数为奇函数得对任意的x∈[-7，-3]有f（x）≥f（-7）=-5恒成立．由此可得答案．

解答：解：∵奇函数y=f（x）在区间[3，7]上是增函数，∴f（x）在区间[-7，-3]上也是增函数
∵函数y=f（x）在区间[3，7]上是增函数，最大值为5，
∴当3≤x≤7时，[f（x）]_max=f（7）=5，
即任意的x∈[3，7]，f（x）≤f（7）恒成立．
又∵x∈[-7，-3]时，-x∈[3，7]，得f（-x）≤f（7）恒成立，
∴根据函数为奇函数，得-f（x）≤f（7）即f（x）≥f（-7），
∵f（-7）=-f（7）=-5，
∴对任意的x∈[-7，-3]，f（x）≥f（-7）=-5恒成立，
因此，f（x）在区间[-7，-3]上为增函数且有最小值f（-7）=-5．
故选：D

点评：本题给出函数在某个区间上的奇偶性与单调性，求它在关于原点对称区间上的单调性与最值．着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识，属于中档题．