Question

已知数列a_n，其前n项和为Sn=

3

2

n2+

7

2

n? (n∈N*)．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式，并证明数列a_n是等差数列；
（Ⅱ）如果数列b_n满足a_n=log₂b_n，请证明数列b_n是等比数列，并求其前n项和；
（Ⅲ）设cn=

9

(2an-7)(2an-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=5，（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

3

2

[n2-(n-1)2]+

7

2

[n-(n-1)]=

3

2

(2n-1)+

7

2

=3n+2．（2分）
又a₁=5满足a_n=3n+2，（3分）
∴a_n=3n+2?（n∈N^*）．（4分）
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N^*），
∴数列a_n是以5为首项，3为公差的等差数列．（5分）

（Ⅱ）由已知得bn=2an（n∈N^*），（6分）
∵

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an=23=8（n∈N^*），（7分）
又b1=2a1=32，
∴数列b_n是以32为首项，8为公比的等比数列．（8分）
∴数列b_n前n项和为

32(1-8n)

1-8

=

32

7

(8n-1)．（9分）

（Ⅲ）cn=

9

(2an-7)(2an-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（10分）
∴Tn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．（11分）
∵Tn+1-Tn=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0（n∈N^*），
∴T_n单调递增．
∴(Tn)min=T1=

1

3

．（12分）
∴

1

3

＞

k

57

，解得k＜19，因为k是正整数，∴k_max=18．（13分）