Question

（2011•宁波模拟）已知关于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是

a＜

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．

Answer 1

分析：先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x²+x+1；于是有x=a+1或x²+x+1-a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x²+x+1-a=0没有实数根或方程x²+x+1-a=0，有重根a+1，最后解a的不等式得到a的取值范围．

解答：解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，则△=（x²+2x）²-4（x³-1）=（x²+2）²，
∴a=

x 2+2x±(x 2+2)

2

，即a=x-1或a=x²+x+1．
所以有：x=a+1或x²+x+1-a=0．
∵关于x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一个实数根，
∴情形1，方程x²+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，得a＜

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；
情形2，方程x²+x+1-a=0，有重根a+1，此时有a+1=-

1

2

，a=-

3

2

，方程为x²+x+

5

2

=0无解，不合题意，舍去，
所以a的取值范围是a＜

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4

．
故答案为：a＜

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4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了转化得思想方法在解方程中的应用．