Question

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且（0，-

2

）是椭圆M的一个焦点，又点A（1，

2

）在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的斜率是

2

，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，代入A的坐标，即可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设出直线BC的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理计算弦长，求出点A到BC的距离，可得三角形的面积，利用基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，-

2

），故设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1．
将点A（1，

2

）代入方程得

2

a2

+

1

a2-2

=1，整理得a⁴-5a²+4=0，
解得a²=4或a²=1（舍）．
故所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1
（Ⅱ）设直线BC的方程为y=

2

x+m，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入椭圆方程并化简得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8①
由x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

，
故|BC|=

3

|x1-x2|=

3 • 16-2m2

2

．
又点A到BC的距离为d=

|m|

3

，
故S_△ABC=

1

2

|BC|d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，
当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号（满足①式）
所以△ABC面积的最大值为

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．