Question

已知函数 f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=

3

，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,正弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；
（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1
∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
∴f（x）单调递减区间是：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
（2）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，则sin（2C-

π

6

）=1
∵0＜C＜π，
∴C=

π

3

∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得b=2a①
∵c=

3

，
∴由余弦定理可得c²=a²+b²-ab=3②
由①②可得a=1，b=2．

点评：本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．