Question

设P为曲线C：y=4lnx-

x2

4

上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，则点P的横坐标的取值范围为（　　）

• A．(0，2

  2

  ]
• B．（0，+∞）
• C．[2，+∞）
• D．[2，2

  2

  ]

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，设出P点的坐标，得到曲线C在点P处的导数，由切线倾斜角的范围得到斜率范围，然后得到关于点P横坐标的不等式，求解不等式得答案．

解答：解：设点P的横坐标为x₀（x₀＞0），
∵y′=

4

x

-

1

2

x，∴点P处的切线斜率为k=

4

x0

-

1

2

x₀，
由曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，得
点P处的切线斜率为k=

4

x0

-

1

2

x₀∈[0，1]，即0≤

4

x0

-

1

2

x₀≤1，得2≤x₀≤2

2

．
∴点P的横坐标的取值范围为[2，2

2

]．
故选：D．

点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，曲线在某点处的导数，就是过该点的切线的斜率，是中档题．