Question

在直三棱柱中，∠ACB=90°,Ｍ是 的中点，Ｎ是的中点。
（１）求证：MN∥平面 ；
（２）求点到平面BMC的距离；
（３）求二面角­₁的大小。

Answer 1

（1）见解析   （2）    （３）-arctan

（1）如图所示，取B₁C₁中点D，连结ND、A₁D
∴DN∥BB₁∥AA₁
又DN＝
∴四边形A₁MND为平行四边形。
∴MN∥A₁ D 又 MN 平面A₁B₁C₁  AD₁平面A₁B₁C₁
∴MN∥平面--------------------------4分
(2)因三棱柱为直三棱柱，∴C₁ C⊥BC，又∠ACB=90°
∴BC⊥平面A₁MC₁
在平面ACC₁ A₁中，过C₁作C₁H⊥CM，又BC⊥C₁H，故C₁H为C₁点到
平面BMC的距离。
在等腰三角形CMC₁中，C₁ C=2,CM=C₁M=
∴.--------------------------8分
(3)在平面ACC₁A₁上作CE⊥C₁M交C₁M于点E，A₁C₁于点F,则CE为BE在
平面ACC₁A₁上的射影，
∴BE⊥C₁M, ∴∠BEF为二面角B-C₁M-A的平面角,
在等腰三角形CMC₁中，CE=C₁H=,∴tan∠BEC=
∴∠BEC=arctan,∴∠BEF=-arctan
即二面角的大小为-arctan。--------------12分