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(经典回放)已知函数f(x)=sin(ωxφ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上单调函数,求φω的值.

答案:
解析:

  解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x)即sin(-ωxφ)sin(ωxφ)

  ∴-cosφsinωxcosφsinωx对任意x都成立.且ω<0.

  得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,解得φ

  由f(x)的图象关于点M对称得f(-x)=-f(+x).

  取x=0,得f()=-f(),∴f()=0.

  ∵f()=sin()=cos3ω,∴cos3ω=0.

  又∵ω<0,得+kπ,k∈Z

  ∴ω(2k+1),k∈Z

  当k=0,时,ω,f(x)=sin(x+).

  在[0,]上是减函数.

  当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数.

  当k≥2时,ω,y=f(x)在[0,]上不是单调函数.

  综上得ωω=2,φ


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