【题目】【2016高考江苏卷】已知函数.设
.
(1)求方程的根;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的最大值;
(3)若,函数
有且只有1个零点,求
的值。
【答案】(1)①0 ②4(2)1
【解析】
试题分析:(1)①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程
,求方程根②根据指数间平方关系
,将不等式转化为一元不等式,再利用变量分离转化为对应函数最值,即
的最小值,最后根据基本不等式求最值(2)先分析导函数零点情况:唯一零点
,再确定原函数单调变化趋势:先减后增,从而结合图像确定唯一零点必在极值点
取得,而
,因此极值点
必等于零,进而求出
的值.本题难点在证明
,这可利用反证法:若
,则可寻找出一个区间
,由
结合零点存在定理可得函数存在另一零点,与题意矛盾,其中可取
;若
,同理可得.
试题解析:(1)因为,所以
.
①方程,即
,亦即
,
所以,于是
,解得
.
②由条件知.
因为对于
恒成立,且
,
所以对于
恒成立.
而,且
,
所以,故实数
的最大值为4.
(2)因为函数只有1个零点,而
,
所以0是函数的唯一零点.
因为,又由
知
,
所以有唯一解
.
令,则
,
从而对任意,
,所以
是
上的单调增函数,
于是当,
;当
时,
.
因而函数在
上是单调减函数,在
上是单调增函数.
下证.
若,则
,于是
,
又,且函数
在以
和
为端点的闭区间上的图象不间断,所以在
和
之间存在
的零点,记为
. 因为
,所以
,又
,所以
与“0是函数
的唯一零点”矛盾.
若,同理可得,在
和
之间存在
的非0的零点,矛盾.
因此,.
于是,故
,所以
.
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【题目】已知长方形ABCD中,AB=3,AD=4.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示.
(1)试问:在折叠的过程中,直线AB与CD能否垂直?若能,求出相应a的值;若不能,请说明理由;
(2)求四面体A-BCD体积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆:
的左,右焦点分别为
,
.点
是椭圆
在
轴上方的动点,且△
的周长为16.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点到△
三边的距离均相等.
①当时,求点
的坐标;
②求证:点在定椭圆上.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)直线A1F∥平面ADE.
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【题目】在公差不为零的等差数列{an}中,已知a1=1,且a1,a2,a5依次成等比数列.数列{bn}满足bn+1=2bn-1,且b1=3.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Sn,试比较Sn与1-
的大小.
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【题目】【2017届河北省衡水中学高三上学期六调】已知函数,其中
均为实数,
为自然对数的底数.
(1)求函数的极值;
(2)设,若对任意的
恒成立,求实数
的最小值.
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【题目】某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式;
(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7:00,问:一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳?
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【题目】某公司生产电饭煲,每年需投入固定成本40万元,每生产1万件还需另投入16万元的变动成本,设该公司一年内共生产电饭煲万件并全部销售完,每一万件的销售收入为
万元,且
(
),该公司在电饭煲的生产中所获年利润为
(万元),(注:利润=销售收入-成本)
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(万件)的函数解析式,并求年利润的最大值;
(2)为了让年利润不低于2360万元,求年产量
的取值范围.
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