Question

【题目】已知曲线.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；

(3)求斜率为1的曲线的切线方程．

Answer 1

【答案】（1）4x－y－4＝0；（2）x－y＋2＝0或4x－y－4＝0；（3）x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.

【解析】试题分析：（1）求曲线在某点处的切线，只要求出导函数，则切线方程为；

（2））求曲线过某点的切线，需要设切点为，求出导函数，写出切线方程为，代入点求得即可；

（3）求斜率为的切线方程，可解方程，求出切点，再得切线方程．

试题解析：

(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，

∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.

(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.

∴切线方程为y－＝x (x－x0)，

即y＝x·x－x＋.

∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，

即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，

∴x (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，

∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.

(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为x＝1，x0＝±1.

切点为(－1,1)或，

∴切线方程为y－1＝x＋1或y－＝x－1，

即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.