Question

已知点(

2

 ，2  )在幂函数f（x）的图象上，点(-2 ，  

1

4

)在幂函数g（x）的图象上．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；
（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．

Answer 1

（1）由题易得f（x）=x² ，g（x）=x^-2
（2）g（x）在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上为增函数
证明：任取x₁＜x₂＜0，有g(x1)-g(x2)=

(x1+x2)(x2-x1)

x 21 x 22

∵x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取0＜x₁＜x₂，有g(x1)-g(x2)=

(x2+x1)(x2-x1)

x 21

∵x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）当x＞1或x＜1时，f（x）≤g（x），证明如下
由（1），两函数都是偶函数，先研究x＞0时满足f（x）≤g（x）的x的取值范围．
令x² =x^-2，解得x=1，又f（x）=x² 在（0，+∞）上是增函数，g（x）=x^-2在（0，+∞）上是减函数，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≤1
由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，故当x＜0时，f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≥-1
综上当-1≤x≤1时，f（x）≤g（x）