Question

【题目】若F1 ， F2是椭圆C： + =1（0＜m＜9）的两个焦点，椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点M． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0， ）的直线l与椭圆C交于两点A、B，线段AB的中垂线l1交x轴于点N，R是线段AN的中点，求直线l1与直线BR的交点E的轨迹方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b= ，不妨设椭圆的下焦点F1 ， 设线段PF1的中点为：M； 由题意，OM⊥PF1 ， 又OM=b，OM是△PF1F2的中位线，
∴|PF2|=2b，
由椭圆定义，|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b．∴ =3﹣b，
在Rt△OMF1中： ，
∴c2=b2+（3﹣b）2 ， 又c2=a2﹣b2=9﹣b2 ． ，
∴b2+（3﹣b）2=9﹣b2交点b=0（舍去）或b=2，∴m=b2=4．
∴椭圆C的方程： + =1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆C的方程： + =1．
上焦点坐标（0， ）．直线l的斜率k必存在．
设A（x1 ， y1）B（x2 ， y2），弦AB的中点Q（x0 ， y0），
由 ，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣9（x1+x2）（x1﹣x2），
∴k= =﹣ =﹣ （y0≠0）
①当x0≠0时，k=kAB= ∴k=- = 9x02+4y02﹣4 y0=0，
又l1：y﹣y0= ，∴N（ ），
连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），
则 ，
∴ 代入9x02+4y02﹣4 y0=0可得：48x2+3y2﹣2 ，（y≠0）．
②当x0=0时，l：y= ，N（0，0），E（0， ）也适合上式，
综上所述，点E的轨迹方程为：48x2+3y2﹣2 ，（y≠0）．

【解析】（Ⅰ）求出a=3，b= ，设椭圆的下焦点F1 ， 设线段PF1的中点为：M；由题意，OM⊥PF1 ， 又OM=b，OM是△PF1F2的中位线，由椭圆定义，在Rt△OMF1中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解椭圆C的方程． （Ⅱ）上焦点坐标（0， ）．直线l的斜率k必存在．设A（x1 ， y1）B（x2 ， y2），弦AB的中点Q（x0 ， y0），利用平方差法得到AB的斜率，通过①当x0≠0时，k=kAB= ，推出9x02+4y02﹣4 y0=0，连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），利用重心坐标公式，推出 代入9x02+4y02﹣4 y0=0轨迹方程②当x0=0时，验证即可．