Question

已知向量a=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，b=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，c=(

3

，-1)，其中x∈R．
（1）当a•b=

1

2

时，求x值的集合；
（2）设函数f（x）=（a-c）²，①求f（x）的最小正周期；②写出函数f（x）的单调增区间；③写出函数f（x）的图象的对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）由数量积公式将向量方程这形为三角方程，再由三角恒等变换公式化简，解出x值的集合；
（2）由数量积公式求出f（x）的三角表达式，利用三角恒等变换进行化简，将其变为y=Asin（ωx+φ）的形式，再由正弦函数的性质求出函数的周期、单调区间、对称轴方程．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=cos

3x

2

•cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x=

1

2

∴2x=2kπ±

π

3

，x=kπ±

π

6

(k∈z)∴x的集合是{x|x=kπ±

π

6

(k∈z)}…（4分）
（2）∵

a

-

c

=(cos

3x

2

-

3

，sin

3x

2

+1)
∴f(x)=(cos

3x

2

-

3

)2+(sin

3x

2

+1)2=2+3-2

3

cos

3x

2

+2sin

3x

2

=5+4(

1

2

sin

3x

2

-

3

2

cos

3x

2

)=5+4sin(

3x

2

-

π

3

)…（8分）
①最小正周期T=

2π

3 2

=

4

3

π…（9分）
②2kπ-

π

2

≤

3

2

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

即2kπ-

π

6

≤

3

2

x≤2kπ+

5π

6

4

3

kπ-

π

9

≤x≤

4

3

kπ+

5

9

π(k∈z)
∴增区间是[

4

3

kπ-

π

9

，

4

3

kπ+

5π

9

](k∈z)…（12分）
③对称轴方程是x=

2

3

kπ+

5π

9

(k∈z)…（14分）

点评：本题考查三角函数的恒等变换的应用，解题的关键是掌握三角恒等变换公式及三角函数的性质灵活运用性质求周期、单调区间、对称轴等，本题是三角与向量结合的综合题，知识性强，考查全面，是三角函数在高考试卷上出现的主要形式，题后应好好总结此题在解法上的逻辑脉络及解题顺序．