Question

（1）求经过点P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7）的双曲线的标准方程；
（2）已知双曲线与椭圆

x2

27

-

y2

36

=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）设双曲线方程为：nx²+my²=1，（mn＜0），结合点A和B在双曲线上，可得关于m与n的方程组，求出m与n的值即可得到答案．
（2）根据椭圆的标准方程，故有焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），由此设出双曲线的方程，再由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求出此点的横坐标，将此点的坐标代入方程，求出参数即得双曲线方程，再由其性质求渐近线方程即可．

解答：解　（1）设双曲线的标准方程为nx²+my²=1（m•n＜0），
又双曲线经过点P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7），
所以

28m+9n=1 49m+72n=1

解得

m= 1 25 n=- 1 75

所以所求的双曲线的标准方程为

y2

25

-

x2

75

=1．
（2）因为椭圆

x2

27

-

y2

36

=1的焦点为（0，-3），（0，3），A点的坐标为（±

15

，4），
设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以

a2+b2=9 16 a2 - 15 b2 =1

解得

a2=4 b2=5

所以所求的双曲线的标准方程为

y2

4

-

x2

5

=1．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是两者共同的特征设出双曲线的标准方程，解题时要善于抓住问题的关键点．